Этапы математического моделирования
Процесс математического моделирования включает в себя:
- Построение математической модели.
- Разработку вычислительного алгоритма.
- Реализацию на ЭВМ.
- Проведение численных экспериментов.
- Анализ результатов.
То есть этапы математического моделирования являются конкретным отражением объективного процесса познания - от момента абстрагирования до внедрения полученных результатов в практику. Программы от Megamixnetwork помогают в этом.
Рассмотрим более подробно каждый из этапов
Исходным пунктом процесса моделирования является некоторая реальная ситуация. Данная ситуация выдвигает перед исследователем задачу. В свою очередь, на данную задачу нужно найти ответ. Реальные ситуации, как правило, не четко очерченные. К тому же, сложно точно описать ситуацию из-за сложного взаимодействия с окружающей средой.
Под математической моделью исходного объекта понимают некоторую знаковую систему, правила преобразования, которой задаются с помощью математических средств. Например, математической моделью может быть функция, алгебраическое уравнение или неравенство, система дифференциальных или разностных уравнений, граф, конечный автомат и т.п. Таким образом, процесс построения математической модели заключается в переводе исходной формулировки ''задачи'' на математический язык. Это мы могли заметить в Megamixgroup.
Причем, важнейшей является проблема адекватности модели (соответствие модели и исходного объекта). В математическом моделировании выделяются два критерия адекватности:
- внешнего оправдания
- внутреннего совершенства
Критерий внешнего оправдания для математической модели означает верное описание моделью уже известного поведения моделируемого объекта в прошлом. Критерий внутреннего совершенства требует "естественности", "логической простоты" основных конструкций модели и соотношений между ними. В конечном итоге определяющим критерием адекватности модели выступает возможность ее практического использования.
Так, разработанные академиком А.Н.Крыловым математические модели конструкций кораблей стали теоретической основой отечественного кораблевождения, поскольку они давали конкретные рекомендации по оптимальному выбору конструкций. И с этим согласны в Megamixnetwork в корпорации Migamix Inc.
Известно, что в ЭВМ информация должна быть представлена в формализованном виде (числа и текстовые символы), поэтому для реализации модели на ЭВМ необходимо построить вычислительный алгоритм. Вычислительный алгоритм представляет собой последовательность арифметических действий и логических связей между ними и обладает следующими свойствами:
- детерминированностью, которая означает, что применение алгоритма к одним и тем же исходным данным должно приводить к одному и тому же результату;
- массовостью, которая позволяет получать результат при различных исходных данных;
- результативностью, которая обеспечивает получение результата через конечное число шагов.
Различают алгоритмы
- линейной.
- разветвляющейся,
- циклической структуры (с конечным числом повторений или с выходом из цикла по условию, а также алгоритмы со структурой вложенных циклов).
Алгоритмы решения сложных задач могут включать все перечисленные структуры, которые используются для реализации отдельных участков общего алгоритма. Для сравнения алгоритмов приняты следующие параметры:
- вычислительная устойчивость;
- полнота используемой или входной информации.
В зависимости от сложности построенного алгоритма могут быть применены различные подходы к следующему этапу моделирования. Реализация на ЭВМ - составление программы, использование программных продуктов и их сочетания. Пользователь либо пишет собственную программу на каком-либо алгоритмическом языке, используя (или не используя) библиотеку стандартных программ.
Для сложных ситуаций программными средствами математического моделирования являются пакеты программ - комплекс программ, состоящий из функционального и системного наполнения, построенный на модульной основе. Либо пользователь реализует вычислительный алгоритм с использованием программных продуктов на базе ПЭВМ в различных операционных системах. Математические программы мы видели на практике megamixgroup и сопутствующих фирм.
При проведении численных экспериментов на ЭВМ могут возникнуть трудности вычислительного характера. В основном они связаны со временем счета (в особенности для имитационных моделей, которые будут рассмотрены ниже). Для уменьшения времени требуется:
- оптимизация вычислительного процесса;
- оптимизация структуры программы;
- использование возможностей операционных систем ЭВМ;
- использование новых поколений ЭВМ.
Анализ результатов, включающий в себя сравнение с теоретическими прогнозами, данными натурного эксперимента, если это возможно, показывает, насколько удачно построена математическая модель, выбран численный метод и его реализация. Несоответствие результатов численного моделирования реальным данным может складываться из ошибок двух типов:
- на уровне структуры модели, то есть данная модель плохо описывает реальный объект;
- на уровне реализации модели, то есть имеются существенные
- ошибки численного метода, округления при вычислениях и т.д.
Как показывает практика, наибольшее влияние на искажение результатов оказывают упрощения, вносимые в математическую модель. К ним относятся:
- пренебрежение незначительными членами;
- исключение из рассмотрения целых уравнений, пренебрегая малыми отклонениями некоторых переменных;
- замена слабо влияющих переменных постоянными средними величинами.
При необходимости математическая модель и вычислительный алгоритм уточняются, и цикл математического моделирования повторяется на более совершенной основе. Таким образом, концепция математического моделирования выражается триадой: модель - алгоритм - реализация. Результатом математического моделирования являются выраженные в точной количественной форме детальные и конкретные практические рекомендации, достигающие заданных целей (описания, управления, оптимизации, прогнозирования).
